【椭圆曲线整数点的递推序列及二次剩余法求解】
【摘要：研究了某种特殊类型的递推序列的同余性质。利用这些性质及二次剩余等初等数论方法与技巧，证明了zagier提出的椭圆曲线y2=x330x+133的所有整数点是(x，y)=(7，0)，(3，±14)，(2，±9)，(6，±13)，(5143326，±11664498677)。】
【关键词：丢番图方程；椭圆曲线……】
陆舟双手稳健地敲打在键盘上，只见电脑屏幕上的字越来越多，没一会儿便填充了文档里的第一正业。
数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。整数可以是方程式的解（丢番图方程）。有些解析函数（像黎曼ζ函数）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。
而这篇数学论文的来源是他之前学习数论的时候，注意到椭圆曲线的整数点问题，由于曲线类型的多样性，没有一个统一的方法或算法能在有限步之内求解出任意给定的椭圆曲线的整数点。
那如何解决这个整数点问题？
陆舟脑袋灵光一闪，将椭圆曲线的整数点问题转化为研究递推序列的数论性质，并最终利用排除法求出了所有整数点。
递推序列方法虽然是一种初等的方法，但通过与二次剩余相结合并运用一定的技巧，可以解决一些困难的丢番图方程求解问题。
“为了证明定理1，需要研究递推序列的同余性质。经计算知649+180√13是pel方程……”陆舟一边写着论文一边低声呢喃着。
一旁的舍友老王不知道何处凑了上前，微弓着腰，十分好奇地望着电脑屏幕，一脸狐疑地问道：“肘子，你这是在写作业还是写啥？”
“写论文。”陆舟视线没有从电脑上移开，一心二用地回道。
“论、论文，是要投稿的吗？”老王瞪大着眼睛，有些磕巴地说道。
“当然是要投稿的，不然写来干嘛？”陆舟手上的动作稍微停顿，接着连续地键盘声重新响起。
“投稿欸！这可是传说中的论文投稿，好厉害的感觉！”老王顿时眼冒金星，对于一个大二的学生老说，完全没接触过论文这东西，平时也就是写写作业的课程论文，跟这种真正的论文完全不一样。
可能大部分本科生四年下来，只有到写毕业论文的时候才会接触到这个。
“这不会是数学论文吧？”老王瞅了几眼，再联想到陆舟可是拿过全国大学生数学建模竞赛高教社杯的人，数学方面天赋过人。
“对，就是数学的。”
“太牛了吧！”
老王有些崇拜地说着，然后凑近把题目磕磕巴巴地念了一遍，“椭圆曲线整数点的递推序列……这都是啥啊，我怎么完全看不懂。”
老王眼睛顿时迷离了，别说内容了，光是一个论文的标题就已经把他给看懵逼了。
“看不懂很正常。”陆舟随口道。
老王起身，就站在陆舟的身后，一脸羡慕地望着陆舟的背影。
只有羡慕，没有嫉妒也没有恨。
天天生活在一起，他知道陆舟在学习上有多拼，付出了多少汗水。
现在取得了成就，也是很理所当然的。
有天赋、还这么勤奋努力，这样的人不成功才见鬼了。
「好想变得和陆舟一样的上进！」
脑海中突然蹦出来的想法把他吓了一跳。
可随即，他竟有些意动。
“要不试试？”他不自信地问道。
想着，老王做回自己座位上，拿出书开始复习。
旁边的一个舍友刚好去上厕所，注意到老王的异常，忍不住调侃道：“哟，老王怎么还开始学习起来了，这不还没到期末吗？”
“一边去，别打扰我自学，以后请叫我学霸王！”老王信心满满地说道。
十分钟后。
老王上下眼皮开始打架，一分钟内打哈欠的频率已经高达七八次。
“老王，我王者农药吗？4缺一，就等你了，来不来？”舍友喊道。
“不打……我学习呢。”老王打哈欠地说道。
“真不来，有妹纸哦！”舍友嘿嘿一笑。
“不来，书中自有黄金屋，书中自有颜如玉！”老王坚定地说道。
“切，你也就三分钟热度，能坚持一天下去我就服你。”
舍友见无果后，直接拉了个野人开始了。
十五分钟后。
老王把头转向之前相邀的舍友，犹豫了下，开口问道：“阿春，你们打完了没？”
“干啥，你不是找你的颜如玉吗？”
“咳咳，颜如玉今天好像不在家，学习嘛，晚一点也没大事，我先跟你们打会游戏再去学习。”老王说完，把书一丢，拉着椅子坐到舍友边上。
陆舟看到这一幕，忍不住摇摇头。
人呢，大部分都是三分钟热情，或者假勤奋。
学习并非一件轻易的事情，而且这还是一项长期的任务，必须要持之以恒地坚持下去，只是大部分人都会半途而废。
陆舟却很坚定自己的信念，他想要看看自己的极限在哪里，想要去看看这个世界究竟有多辽阔。
……
光华大学普兰咖啡厅。
晚上8点，外面已然是漆黑一片，好在有道路两侧的路灯亮着，倒显得不是那么孤寂。
“校长。”x3
三道声音先后响起，陈灏微微点头，笑着说道：“大晚上开小组会，没给你们添麻烦吧？”
“没，不过校长您这也太敬业了吧……”李秋白感慨地说道。
大晚上的校长还没回去，留在学校，别人家的大学能有几个。
“还好，生活充实点，忙碌起来也挺好的。”
正好这时候点的咖啡上来了。
服务员把四杯咖啡放下，礼貌地说了一句“您好，你的四杯咖啡，请慢慢享受。”
看着桌上的咖啡，陈灏摆了摆手，挥手道：“也不知道你们喜欢喝什么，反正我美式、卡布奇诺、拿铁、摩卡都点了，不用客气，直接拿就行了。”
听到最后，三人对视一眼，倒是宋清彤最早伸出手，不客气地选了一杯咖啡。
等卫舒同学选完后，果然剩下一个美式没人选。
几人喝着咖啡，开始聊起天。
“今晚呢，约你们出来开小组会，主要是试验班的课程指导文件也出来了，你们看了后有啥意见吗？”陈灏喝了一口咖啡，微笑着问道。
三人你看看我，我看看你，最后开口的还是李秋白人。
“校长，我看了文件后，对于专业课和选修课还好，只是这个通识教育是不是太多了？”李秋白有些郁闷地说道。
专业课12节，选修课10节，结果通识教育课却有14节。
这就很不对劲了，哪有通识教育课比专业课还多的？
“14节还可以了，要不是怕给你们课太多，可能不止14节了。”陈灏轻笑说道。
李秋白：……
“校长，那这个通识教育课程，我能不能少上一点?我只对计算机感兴趣，您也知道的。”李秋白望着陈灏，带着商量地语气说道。
“你们三个都是我挑出来的，当然都是主计算机有潜力的。”陈灏说着，话锋一转，“通识教育课程还是很有用的，可以将自己通识课程和自己专业领域联系起来，是一个查漏补缺的过程，也是一个追求更高水准的过程。”
“校长，真的没有办法改变吗？”李秋白苦笑一声。
原本好好学计算机，结果现在突然蹦出14节通识教育课，让李秋白计划赶不上变化。
“当然不行，这是定好的规矩，总不能随意就破例。”陈灏摇摇头。
他为什么制定这个通识教育课，就是为了培养学生全方位的能力，而且扩散思维能力，想事情的时候可以多站在一个角度，多种理解。
“好吧……那我没问题了。”李秋白无声叹气。
剩余两人，卫舒安静得很，宋清彤看了看，那也只剩自己了。
想了想，宋清彤问道：“校长，现在都已经11月上旬了，再重新选课，会不会时间上赶不及了？”
这话一出来，李秋白也眼中绽放一道光芒，显然也说到他的心窝里去了。
“这个不是问题，针对试验班学生的课程问题，等你们选择专业，统计完后我们会根据学生所希望上的课程，单独给你们开设课程。”陈灏轻放下咖啡，看着三人说道。
“这样子吗？那万一有同学想选的课程学校没有咋办？”宋清彤突然想到这个，好奇地问道。
“学校要是没有这门课，那就去招人！试验班是学校的制度的一个改革，所以会非常重视试验班的培养，你们大可放心。”陈灏解释说道。
三人互相对视一眼，不管如何，至少能够感受到学校的诚意。
且不说为了一个班的学生可以单独弄课程，还能因为学生去新建课程，让人无话可说。
“答疑也结束了，对于你们课程的安排，我也有点看法，有什么觉得不恰当的可以一起沟通。”说着，陈灏把这两天对李秋白三人的课程制定道出来。
“大一：上学期（通史5，选修1）、下学期（通识5，选修1）
大二：上学期（专业3，选修2，通识2）、下学期（专业3，选修2，通识2）
大三：上学期（专业3，选修2）、下学期（专业3，选修2）”
“这样3年刚好完成36门标准，学分也绰绰有余，我不太建议你们选太多课程，一学期最多不能超过7节。”陈灏认真地提醒说道，“学习，在于掌握，在于精华，而不是在于多，我希望你们都能够把课程学习透彻。”
针对这个课程安排上，又讨论了一会。
晚上8点开始小组会议，一直到晚上9点多才结束。
……
翌日早晨，京城。
北京航空航天大学，一道怒喝声从书记办公室里响起。
声音之大，甚至还引来了不少路过的学校职工的注意。
“方教授，我不同意！”
ps：还没写好，剩下一点明天中午补上，写到四点钟实在太困了，效率也不行。对不起大家了，唉，怪我效率不行。
【摘要：研究了某种特殊类型的递推序列的同余性质。利用这些性质及二次剩余等初等数论方法与技巧，证明了zagier提出的椭圆曲线y2=x330x+133的所有整数点是(x，y)=(7，0)，(3，±14)，(2，±9)，(6，±13)，(5143326，±11664498677)。】
【关键词：丢番图方程；椭圆曲线……】
陆舟双手稳健地敲打在键盘上，只见电脑屏幕上的字越来越多，没一会儿便填充了文档里的第一正业。
数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。整数可以是方程式的解（丢番图方程）。有些解析函数（像黎曼ζ函数）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。
而这篇数学论文的来源是他之前学习数论的时候，注意到椭圆曲线的整数点问题，由于曲线类型的多样性，没有一个统一的方法或算法能在有限步之内求解出任意给定的椭圆曲线的整数点。
那如何解决这个整数点问题？
陆舟脑袋灵光一闪，将椭圆曲线的整数点问题转化为研究递推序列的数论性质，并最终利用排除法求出了所有整数点。
递推序列方法虽然是一种初等的方法，但通过与二次剩余相结合并运用一定的技巧，可以解决一些困难的丢番图方程求解问题。
“为了证明定理1，需要研究递推序列的同余性质。经计算知649+180√13是pel方程……”陆舟一边写着论文一边低声呢喃着。
一旁的舍友老王不知道何处凑了上前，微弓着腰，十分好奇地望着电脑屏幕，一脸狐疑地问道：“肘子，你这是在写作业还是写啥？”
“写论文。”陆舟视线没有从电脑上移开，一心二用地回道。
“论、论文，是要投稿的吗？”老王瞪大着眼睛，有些磕巴地说道。
“当然是要投稿的，不然写来干嘛？”陆舟手上的动作稍微停顿，接着连续地键盘声重新响起。
“投稿欸！这可是传说中的论文投稿，好厉害的感觉！”老王顿时眼冒金星，对于一个大二的学生老说，完全没接触过论文这东西，平时也就是写写作业的课程论文，跟这种真正的论文完全不一样。
可能大部分本科生四年下来，只有到写毕业论文的时候才会接触到这个。
“这不会是数学论文吧？”老王瞅了几眼，再联想到陆舟可是拿过全国大学生数学建模竞赛高教社杯的人，数学方面天赋过人。
“对，就是数学的。”
“太牛了吧！”
老王有些崇拜地说着，然后凑近把题目磕磕巴巴地念了一遍，“椭圆曲线整数点的递推序列……这都是啥啊，我怎么完全看不懂。”
老王眼睛顿时迷离了，别说内容了，光是一个论文的标题就已经把他给看懵逼了。
“看不懂很正常。”陆舟随口道。
老王起身，就站在陆舟的身后，一脸羡慕地望着陆舟的背影。
只有羡慕，没有嫉妒也没有恨。
天天生活在一起，他知道陆舟在学习上有多拼，付出了多少汗水。
现在取得了成就，也是很理所当然的。
有天赋、还这么勤奋努力，这样的人不成功才见鬼了。
「好想变得和陆舟一样的上进！」
脑海中突然蹦出来的想法把他吓了一跳。
可随即，他竟有些意动。
“要不试试？”他不自信地问道。
想着，老王做回自己座位上，拿出书开始复习。
旁边的一个舍友刚好去上厕所，注意到老王的异常，忍不住调侃道：“哟，老王怎么还开始学习起来了，这不还没到期末吗？”
“一边去，别打扰我自学，以后请叫我学霸王！”老王信心满满地说道。
十分钟后。
老王上下眼皮开始打架，一分钟内打哈欠的频率已经高达七八次。
“老王，我王者农药吗？4缺一，就等你了，来不来？”舍友喊道。
“不打……我学习呢。”老王打哈欠地说道。
“真不来，有妹纸哦！”舍友嘿嘿一笑。
“不来，书中自有黄金屋，书中自有颜如玉！”老王坚定地说道。
“切，你也就三分钟热度，能坚持一天下去我就服你。”
舍友见无果后，直接拉了个野人开始了。
十五分钟后。
老王把头转向之前相邀的舍友，犹豫了下，开口问道：“阿春，你们打完了没？”
“干啥，你不是找你的颜如玉吗？”
“咳咳，颜如玉今天好像不在家，学习嘛，晚一点也没大事，我先跟你们打会游戏再去学习。”老王说完，把书一丢，拉着椅子坐到舍友边上。
陆舟看到这一幕，忍不住摇摇头。
人呢，大部分都是三分钟热情，或者假勤奋。
学习并非一件轻易的事情，而且这还是一项长期的任务，必须要持之以恒地坚持下去，只是大部分人都会半途而废。
陆舟却很坚定自己的信念，他想要看看自己的极限在哪里，想要去看看这个世界究竟有多辽阔。
……
光华大学普兰咖啡厅。
晚上8点，外面已然是漆黑一片，好在有道路两侧的路灯亮着，倒显得不是那么孤寂。
“校长。”x3
三道声音先后响起，陈灏微微点头，笑着说道：“大晚上开小组会，没给你们添麻烦吧？”
“没，不过校长您这也太敬业了吧……”李秋白感慨地说道。
大晚上的校长还没回去，留在学校，别人家的大学能有几个。
“还好，生活充实点，忙碌起来也挺好的。”
正好这时候点的咖啡上来了。
服务员把四杯咖啡放下，礼貌地说了一句“您好，你的四杯咖啡，请慢慢享受。”
看着桌上的咖啡，陈灏摆了摆手，挥手道：“也不知道你们喜欢喝什么，反正我美式、卡布奇诺、拿铁、摩卡都点了，不用客气，直接拿就行了。”
听到最后，三人对视一眼，倒是宋清彤最早伸出手，不客气地选了一杯咖啡。
等卫舒同学选完后，果然剩下一个美式没人选。
几人喝着咖啡，开始聊起天。
“今晚呢，约你们出来开小组会，主要是试验班的课程指导文件也出来了，你们看了后有啥意见吗？”陈灏喝了一口咖啡，微笑着问道。
三人你看看我，我看看你，最后开口的还是李秋白人。
“校长，我看了文件后，对于专业课和选修课还好，只是这个通识教育是不是太多了？”李秋白有些郁闷地说道。
专业课12节，选修课10节，结果通识教育课却有14节。
这就很不对劲了，哪有通识教育课比专业课还多的？
“14节还可以了，要不是怕给你们课太多，可能不止14节了。”陈灏轻笑说道。
李秋白：……
“校长，那这个通识教育课程，我能不能少上一点?我只对计算机感兴趣，您也知道的。”李秋白望着陈灏，带着商量地语气说道。
“你们三个都是我挑出来的，当然都是主计算机有潜力的。”陈灏说着，话锋一转，“通识教育课程还是很有用的，可以将自己通识课程和自己专业领域联系起来，是一个查漏补缺的过程，也是一个追求更高水准的过程。”
“校长，真的没有办法改变吗？”李秋白苦笑一声。
原本好好学计算机，结果现在突然蹦出14节通识教育课，让李秋白计划赶不上变化。
“当然不行，这是定好的规矩，总不能随意就破例。”陈灏摇摇头。
他为什么制定这个通识教育课，就是为了培养学生全方位的能力，而且扩散思维能力，想事情的时候可以多站在一个角度，多种理解。
“好吧……那我没问题了。”李秋白无声叹气。
剩余两人，卫舒安静得很，宋清彤看了看，那也只剩自己了。
想了想，宋清彤问道：“校长，现在都已经11月上旬了，再重新选课，会不会时间上赶不及了？”
这话一出来，李秋白也眼中绽放一道光芒，显然也说到他的心窝里去了。
“这个不是问题，针对试验班学生的课程问题，等你们选择专业，统计完后我们会根据学生所希望上的课程，单独给你们开设课程。”陈灏轻放下咖啡，看着三人说道。
“这样子吗？那万一有同学想选的课程学校没有咋办？”宋清彤突然想到这个，好奇地问道。
“学校要是没有这门课，那就去招人！试验班是学校的制度的一个改革，所以会非常重视试验班的培养，你们大可放心。”陈灏解释说道。
三人互相对视一眼，不管如何，至少能够感受到学校的诚意。
且不说为了一个班的学生可以单独弄课程，还能因为学生去新建课程，让人无话可说。
“答疑也结束了，对于你们课程的安排，我也有点看法，有什么觉得不恰当的可以一起沟通。”说着，陈灏把这两天对李秋白三人的课程制定道出来。
“大一：上学期（通史5，选修1）、下学期（通识5，选修1）
大二：上学期（专业3，选修2，通识2）、下学期（专业3，选修2，通识2）
大三：上学期（专业3，选修2）、下学期（专业3，选修2）”
“这样3年刚好完成36门标准，学分也绰绰有余，我不太建议你们选太多课程，一学期最多不能超过7节。”陈灏认真地提醒说道，“学习，在于掌握，在于精华，而不是在于多，我希望你们都能够把课程学习透彻。”
针对这个课程安排上，又讨论了一会。
晚上8点开始小组会议，一直到晚上9点多才结束。
……
翌日早晨，京城。
北京航空航天大学，一道怒喝声从书记办公室里响起。
声音之大，甚至还引来了不少路过的学校职工的注意。
“方教授，我不同意！”
ps：还没写好，剩下一点明天中午补上，写到四点钟实在太困了，效率也不行。对不起大家了，唉，怪我效率不行。