第四十八章 我要交卷
秦克刷刷刷地在试卷的答题区边写边画起来：
“解：把1，2，…，13按如下规则排成一个圆圈：先排1，在1旁边放9（与1的差为8），在9的旁边放4（与9的差为5），这样继续放下去，每个数旁边的数与它相差8或5，最后得到如图1所示的一个圈（1，9，4，12，7，2，10，5，13，8，，3，11，6），圈上的数能同时满足：”
“（1）每两个相邻的数的差或是8，或是5；
（2）两个不相邻的数的差既不等于5，也不等于8。
所以本题可以化归为：在这个圈上，至多能选几个数，使得每两个数在圈上不相邻。”
ok，搞定，完成化归了。
这个化归后的问题，是不是与他给宁青筠举过的例子实质一模一样了？
所以接下来秦克做起来毫无难度可言，直接将那例子的解法写出来就行了。
“再画一个圈，依次排上1，2，…，13，那么可以选出6个数字，符合不相邻的条件，比如1，3，5，7，9，11。见图2。
接下来验证最多可以选几个数字。我们先任意选定数字1，这时与之相邻的2，13都不能选了，把剩下的10个数字配成5对，分别是：（3，4）、（5，6）、（7，8）、（9，10）、（11，12）。在这5对数字中，每一对至多只能选出1个数，也就是说，连同数字1在内，最多只能选出6个数字，使它们互不相邻。
由此可以得出本问题的答案是：6。”
秦克轻松加愉快，在五分钟不到就搞定第一道附加题。
他看了眼窗外，不知道宁青筠有没有想起这例题和能不能运用出化归法，如果也能想起，那这25分她自然能稳稳收入囊中了。
加油吧，学委，我只能帮你到这里了。
秦克又向看第二题，第二题也相当有难度，难怪能选为附加卷的大题。
“附加题2：设△abc中，顶点a，b，c的对边分别是a，b，c，内心i到顶点a，b，c的距离分别为m，n，l，求证：al^2+bm^2+cn^2=abc”
这一题看似条件不足无从下手，但秦克略一思索，便有了思路。
他决定用面积法来证明。
面积法最基本的思想，就是用两种不同的方法计算同一个面积，得到的结果应该是相等的。
首先引入△abc的外接圆半径r，由正弦定理a/sina=b/sinb=c/sinc=2r，
三角形面积s=(1/2)absinc
=(1/2)ab·c/2r
=abc/4r，
所以s=abc/4r。
再将△abc分割为3个四边形，Δabc的面积s，显然等于3个四边形的面积之和s。
如此便将上面的s=abc/4r与3个四边形面积之和，建立起面积等式。
再根据3个四边形都有外接圆，且对角线相互垂直，用已知量来表示它们的面积并不会太难，再借助△abc的外接圆半径r可以消去角的正弦，不出意外，轻易就能证明这题的结论。
ok，开干。
“证明：设△abc内切圆与三边bc，ca，ab分别相切于d，e，f，分别连接ef，ei，fi，di，ai，分别得到aeif，bfid，cdie三个四边形……”
“所以s△abc =saeif+sbfid+scdie=（al^2+bm^2+cn^2）/4r，又因为s△abc =abc/4r，由面积法可知两种方法求得的s△abc相等，由此得出al^2+bm^2+cn^2=abc”
秦克神色轻松地放下笔，最后检查了一遍确定没漏题后，看看左右的考生，见人人都做得眉头紧锁，全文彦倒已恢复了正常，正刷刷刷地答题。
秦克眼珠一转，故意举手道：“报告老师。”
原本考室里就非常安静，只有监考老师踱步的声音和极偶尔的咳嗽声，所以秦克的声音虽然不算大，多数学生还是听到的，不由都好奇地抬头看了他一眼。
尤其是全文彦，听到秦克的声音下意识地浑身一个激灵，连做题的思路都被打断了。
这时已有个三十岁出头的监考女老师走了过来，问秦克：“同学，你有什么事？”
“我想交卷。”
听到这句话，考室里的一众苦战考卷的考生们几乎同时都冒出一个念头，终于有人被这次题目又多又难的初赛卷子给弄崩溃、要早早放弃了。
众人心里感叹之余，也暗暗给自己鼓励，自己可不能像这家伙一样轻易就放弃了，得坚持和发挥奥林匹克精神，就算不会做，也要坚持到最后一刻！
加油，xxx，你行的！
考室里的学生们心思大同小异，全文彦和远处的池嘉慕更是精神一振。
两人原本进入考场后心情久久不能平伏，好不容易进入状态，刚刚解了一两道题，就听到了秦克要交卷，两人在心头一松的同时，也不由“呵”地冷笑，这痞子果然水平很烂，也不知道怎么混入参赛队伍中的，赶紧滚吧。
与秦克“仇深似海”的全文彦，自信心刷地回复了。
自己刚才居然有点怕这个学渣痞子，简直好笑！这回自己就要用铁打的分数，狠狠地反抽他的脸！让他知道，这奥数考试，不是他这样的渣子能混进来撒野的！
还有那个宁青筠，仗着长得漂亮就傲气得不行，自己这回也要甩开她几十分，让她在自己面前永远抬不起头来！
这边全文彦心里全是病态的报复心理和自己yy产生的快意，来到秦克旁边的女老师倒是脾气好，也是个负责任的，她温声道：“同学，按照规定，不到一个半小时不能交卷的。这次的题目确实有点难度，你就算不会也应该多努力思考，说不定就……”
她见惯了考奥数考到崩溃的学生，知道该如何安抚。
“可我做完了啊。”
女老师说到一半的话戛然而止，她还以为自己听错了：“什么？”
秦克就等她这话，便放大了声音道：“我说，我已做完试卷了。这卷子太简单，一点难度都没，我所有题目都做完了，留下来也没什么事情做，能不能提前交卷啊？”
全场原本有点儿热血积极的气氛，顿时变得一片死寂。
所有考生都惊愕地抬头看向这个大言不惭的考生，心中只闪过一个念头，吹牛吧？这怎么可能？
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“解：把1，2，…，13按如下规则排成一个圆圈：先排1，在1旁边放9（与1的差为8），在9的旁边放4（与9的差为5），这样继续放下去，每个数旁边的数与它相差8或5，最后得到如图1所示的一个圈（1，9，4，12，7，2，10，5，13，8，，3，11，6），圈上的数能同时满足：”
“（1）每两个相邻的数的差或是8，或是5；
（2）两个不相邻的数的差既不等于5，也不等于8。
所以本题可以化归为：在这个圈上，至多能选几个数，使得每两个数在圈上不相邻。”
ok，搞定，完成化归了。
这个化归后的问题，是不是与他给宁青筠举过的例子实质一模一样了？
所以接下来秦克做起来毫无难度可言，直接将那例子的解法写出来就行了。
“再画一个圈，依次排上1，2，…，13，那么可以选出6个数字，符合不相邻的条件，比如1，3，5，7，9，11。见图2。
接下来验证最多可以选几个数字。我们先任意选定数字1，这时与之相邻的2，13都不能选了，把剩下的10个数字配成5对，分别是：（3，4）、（5，6）、（7，8）、（9，10）、（11，12）。在这5对数字中，每一对至多只能选出1个数，也就是说，连同数字1在内，最多只能选出6个数字，使它们互不相邻。
由此可以得出本问题的答案是：6。”
秦克轻松加愉快，在五分钟不到就搞定第一道附加题。
他看了眼窗外，不知道宁青筠有没有想起这例题和能不能运用出化归法，如果也能想起，那这25分她自然能稳稳收入囊中了。
加油吧，学委，我只能帮你到这里了。
秦克又向看第二题，第二题也相当有难度，难怪能选为附加卷的大题。
“附加题2：设△abc中，顶点a，b，c的对边分别是a，b，c，内心i到顶点a，b，c的距离分别为m，n，l，求证：al^2+bm^2+cn^2=abc”
这一题看似条件不足无从下手，但秦克略一思索，便有了思路。
他决定用面积法来证明。
面积法最基本的思想，就是用两种不同的方法计算同一个面积，得到的结果应该是相等的。
首先引入△abc的外接圆半径r，由正弦定理a/sina=b/sinb=c/sinc=2r，
三角形面积s=(1/2)absinc
=(1/2)ab·c/2r
=abc/4r，
所以s=abc/4r。
再将△abc分割为3个四边形，Δabc的面积s，显然等于3个四边形的面积之和s。
如此便将上面的s=abc/4r与3个四边形面积之和，建立起面积等式。
再根据3个四边形都有外接圆，且对角线相互垂直，用已知量来表示它们的面积并不会太难，再借助△abc的外接圆半径r可以消去角的正弦，不出意外，轻易就能证明这题的结论。
ok，开干。
“证明：设△abc内切圆与三边bc，ca，ab分别相切于d，e，f，分别连接ef，ei，fi，di，ai，分别得到aeif，bfid，cdie三个四边形……”
“所以s△abc =saeif+sbfid+scdie=（al^2+bm^2+cn^2）/4r，又因为s△abc =abc/4r，由面积法可知两种方法求得的s△abc相等，由此得出al^2+bm^2+cn^2=abc”
秦克神色轻松地放下笔，最后检查了一遍确定没漏题后，看看左右的考生，见人人都做得眉头紧锁，全文彦倒已恢复了正常，正刷刷刷地答题。
秦克眼珠一转，故意举手道：“报告老师。”
原本考室里就非常安静，只有监考老师踱步的声音和极偶尔的咳嗽声，所以秦克的声音虽然不算大，多数学生还是听到的，不由都好奇地抬头看了他一眼。
尤其是全文彦，听到秦克的声音下意识地浑身一个激灵，连做题的思路都被打断了。
这时已有个三十岁出头的监考女老师走了过来，问秦克：“同学，你有什么事？”
“我想交卷。”
听到这句话，考室里的一众苦战考卷的考生们几乎同时都冒出一个念头，终于有人被这次题目又多又难的初赛卷子给弄崩溃、要早早放弃了。
众人心里感叹之余，也暗暗给自己鼓励，自己可不能像这家伙一样轻易就放弃了，得坚持和发挥奥林匹克精神，就算不会做，也要坚持到最后一刻！
加油，xxx，你行的！
考室里的学生们心思大同小异，全文彦和远处的池嘉慕更是精神一振。
两人原本进入考场后心情久久不能平伏，好不容易进入状态，刚刚解了一两道题，就听到了秦克要交卷，两人在心头一松的同时，也不由“呵”地冷笑，这痞子果然水平很烂，也不知道怎么混入参赛队伍中的，赶紧滚吧。
与秦克“仇深似海”的全文彦，自信心刷地回复了。
自己刚才居然有点怕这个学渣痞子，简直好笑！这回自己就要用铁打的分数，狠狠地反抽他的脸！让他知道，这奥数考试，不是他这样的渣子能混进来撒野的！
还有那个宁青筠，仗着长得漂亮就傲气得不行，自己这回也要甩开她几十分，让她在自己面前永远抬不起头来！
这边全文彦心里全是病态的报复心理和自己yy产生的快意，来到秦克旁边的女老师倒是脾气好，也是个负责任的，她温声道：“同学，按照规定，不到一个半小时不能交卷的。这次的题目确实有点难度，你就算不会也应该多努力思考，说不定就……”
她见惯了考奥数考到崩溃的学生，知道该如何安抚。
“可我做完了啊。”
女老师说到一半的话戛然而止，她还以为自己听错了：“什么？”
秦克就等她这话，便放大了声音道：“我说，我已做完试卷了。这卷子太简单，一点难度都没，我所有题目都做完了，留下来也没什么事情做，能不能提前交卷啊？”
全场原本有点儿热血积极的气氛，顿时变得一片死寂。
所有考生都惊愕地抬头看向这个大言不惭的考生，心中只闪过一个念头，吹牛吧？这怎么可能？
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